Question

已知圆C的方程为：x²+y²-4mx-2y+8m-7=0，（m∈R）．
（Ⅰ）试求m的值，使圆C的面积最小；
（Ⅱ）求与满足（1）中条件的圆C相切，且过点（4，-3）的直线方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（Ⅰ）将圆化为标准方程，将右边配方，即可求得结论；
（Ⅱ）分类讨论，设所求直线方程为y+3=k（x-4），利用直线与圆相切，结合点到直线的距离公式，建立方程，即可求出直线方程．

解答： 解：（Ⅰ）配方得圆的方程为（x-2m）²+（y-1）²=4（m-1）²+4．
当m=1时，圆的半径最小，此时圆的面积最小．…（3分）
（Ⅱ）当m=1时，圆的方程为（x-2）²+（y-1）²=4．
当斜率存在时，设所求直线方程为y+3=k（x-4），即kx-y-4k-3=0．
由直线与圆相切，所以

|2k-1-4k-3|

k2+1

=2，
解得k=-

3

4

．
所以切线方程为y+3=-

3

4

（x-4），即3x+4y=0．…（10分）
又过（4，-3）点，且与x轴垂直的直线x=4，也与圆相切．
所以所求直线方程为3x+4y=0及x=4．…（12分）

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，正确运用直线与圆相切是解题的关键．