Question

为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念，某市建立了公共自行车服务系统鼓励市民租用公共自行车出行，公共自行车按每车每次的租用时间进行收费，具体收费标准如下：
①租用时间不超过1小时，免费；
②租用时间为1小时以上且不超过2小时，收费1元；
③租用时间为2小时以上且不超过3小时，收费2元；
④租用时间超过3小时的时段，按每小时2元收费（不足1小时的部分按1小时计算）．
已知甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3．
（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事件A1，A2，A3 ，分别记“乙所付租车费0元、1元、2元”为事件B₁，B₂，B₃，记甲、乙两人所付租车费相同为事件M，则M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，由此根据已知条件利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式能求出甲、乙两人所付租车费相同的概率．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为：0，1，2，3，4，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）根据题意，
分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事件A1，A2，A3 ，它们彼此互斥，
且P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，
∴P（A₃）=1-0.4-0.5=0.1，
分别记“乙所付租车费0元、1元、2元”为事件B₁，B₂，B₃，它们彼此互斥，
且P（B₁）=0.5，P（B₂）=0.3，
∴P（B₃）=1-0.5-0.3=0.2，（2分）
由题知，A₁，A₂．A₃与B₁，B₂，B₃相互独立，（3分）
记甲、乙两人所付租车费相同为事件M，则M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，
所以P（M）=P（A₁）P（B₁）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₃）
=0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2
=0.37．（6分）
（Ⅱ） 据题意ξ的可能取值为：0，1，2，3，4，（7分）
P（ξ=0）=P（A₁）P（B₁）=0.2，
P（ξ=1）=P（A₁）P（B₂）+P（A₂）P（B₁）
=0.4×0.3+0.5×0.5=0.37，
P（ξ=2）=P（A₁）P（B₃）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₁）
=0.4×0.2+0.5×0.3+0.1×0.5=0.28，
P（ξ=3）=P（A₂）P（B₃）+P（A₃）P（B₂）
=0.5×0.2+0.1×0.3=0.13，
P（ξ=4）=P（A₃）P（B₃）=0.1×0.2=0.02．（10分）
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	0.2	0.37	0.28	0.13	0.02

ξ的数学期望Eξ=0×0.2+1×0.37+2×0.28+3×0.13+4×0.02=1.4．（11分）
答：甲、乙两人所付租车费相同的概率为0.37，ξ的数学期望Eξ=1.4．（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．