Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与直线l：y=-

3

3

x+b交于不同的两点P，Q，原点到该直线的距离为

3

2

，且椭圆的离心率为

6

3

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由点到直线的距离公式，即可求得b=1，再由离心率公式和a，b，c的关系，即可求得a，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）假设存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0），联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理，以及PQ⊥QD，即（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，又y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，化简整理，解出k，注意检验判别式是否等于0，即可判断．

解答： 解：（Ⅰ）由点到直线的距离公式，得d=

3

2

=

|b|

1+ 1 3

，
解得：b=1，即a²-c²=1，
又椭圆的离心率为

6

3

，即

c

a

=

6

3

，解得，a=

3

，
∴椭圆方程是

x2

3

+y2=1；
（Ⅱ）假设存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，
以PQ为直径的圆过点D（1，0）．
将y=kx+2代入椭圆方程，得，（1+3k²）x²+12kx+9=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），以PQ为直径的圆过点D（1，0）．
则PQ⊥QD，即（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，得，（1+k²）（x₁x₂+（2k-1）（x₁+x₂）+5=0，
又x₁+x₂=-

12k

1+3k2

，x₁x₂=

9

1+3k2

，
代入上式可得，

12k+14

1+3k2

=0，解得，k=-

7

6

．
此时代入△=（12k）²-4×9（1+3k²）＞0，
则存在k=-

7

6

．使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，
以PQ为直径的圆过点D（1，0）．

点评：本题考查椭圆方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理解题，考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．