Question

已知函数f（x）=

1

2+4x

，令a_n=f（

n

k

） （k∈N^*，n=1，2，3，…，k），则数列{a_n}的前k项和S_k=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由已知函数得到f（x）+f（1-x）=

1

2

，再求出f（1）的值，然后利用倒序相加法求得数列{a_n}的前k项和S_k

解答： 解：∵f（x）=

1

2+4x

，
则f（x）+f（1-x）=

1

2+4x

+

1

2+41-x

=

1

2+4x

+

1

2+ 4 4x

=

1

2+4x

+

4x

2•4x+4

=

2•4x+4+2•4x+(4x)2

(2+4x)(2•4x+4)

=

(4x)2+4•4x+4

2[(4x)2+4•4x+4]

=

1

2

，
∴S_k=a₁+a₂+a₃+…+a_k
=f(

1

k

)+f(

2

k

)+…+f(

k-1

k

)+f（1）①，
Sk=f(

k-1

k

)+f(

k-2

k

)+…+f(

1

k

)+f(1)  ②，
两式相加得：2Sk=

k-1

2

+2f(1)，
Sk=

k-1

4

+f(1)，
由f（x）=

1

2+4x

，得f（1）=

1

6

，
∴Sk=

k-1

4

+

1

6

=

3k-1

12

．
故答案为：

3k-1

12

．

点评：本题考查了数列的函数特性，关键是在理解题意的基础上求得f（x）+f（1-x）=

1

2

，训练了倒序相加法求数列的和，是中档题．