Question

11．已知抛物线y²=2px（p＞0）上的点A到焦点F距离为4，若在y轴上存点B（0，2）使得$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BF}$=0，则该抛物线的方程为（　　）

• A． y²=8x
• B． y²=6x
• C． y²=4x
• D． y²=2x

Answer 1

分析 由题意可得：F（$\frac{p}{2}$，0），x_A+$\frac{p}{2}$=4，解得x_A=4-$\frac{p}{2}$，取A（4-$\frac{p}{2}$，$\sqrt{8p-{p}^{2}}$）．利用$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BF}$=0，即可得出．

解答 解：由题意可得：F（$\frac{p}{2}$，0），x_A+$\frac{p}{2}$=4，解得x_A=4-$\frac{p}{2}$，取y_A=$\sqrt{2p（4-\frac{p}{2}）}$=$\sqrt{8p-{p}^{2}}$．∴A（4-$\frac{p}{2}$，$\sqrt{8p-{p}^{2}}$）．
∵$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BF}$=0，∴$\frac{p}{2}$（4-$\frac{p}{2}$）-2$（\sqrt{8p-{p}^{2}}-2）$=0，∴$（\sqrt{8p-{p}^{2}}-4）^{2}$=0，
解得p=4．经过检验满足条件．
∴该抛物线的方程为y²=8x．
故选：A．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．