Question

20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，点F₁、F₂是其左右焦点，点P（5，y₀）与点Q是双曲线上关于坐标原点对称的两点，则四边形F₁QF₂P的面积为6$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，求出a，可得双曲线方程，代入x=5，可得P的坐标，即可求出四边形F₁QF₂P的面积．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}+4}}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴a=4，
∴双曲线方程是$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
x=5代入，可得y₀=$±\frac{3}{2}$，
∴四边形F₁QF₂P的面积为2×$\frac{1}{2}×4\sqrt{5}×\frac{3}{2}$=6$\sqrt{5}$．
故答案为：6$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查四边形F₁QF₂P的面积的计算，求出双曲线的方程是关键．