Question

已知f（x）=3sin²x-4cosx+1，x∈[

π

3

，

2π

3

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：运用换元法，令t=cosx，由于x∈[

π

3

，

2π

3

]，则t∈[-

1

2

，

1

2

]，则y=-3（t+

2

3

）²+

16

3

，t∈[-

1

2

，

1

2

]即为减区间，计算即可得到所求值域．

解答： 解：f（x）=3sin²x-4cosx+1
=-3cos²x-4cosx+4
=-3（cosx+

2

3

）²+

16

3

令t=cosx，由于x∈[

π

3

，

2π

3

]，则t∈[-

1

2

，

1

2

]，
则y=-3（t+

2

3

）²+

16

3

，t∈[-

1

2

，

1

2

]即为减区间，
则有

5

4

≤y≤

21

4

．
则f（x）的值域为[

5

4

，

21

4

]．

点评：本题考查三角函数的值域，考查换元法求二次函数值域问题，考查运算能力，属于中档题．