题目内容

19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它是形成雾霾天气的主要原因之一．PM2.5日均值越小，空气质量越好.2012年2月29日，国家环保部发布的《环境空气质量标准》见表：
针对日趋严重的雾霾情况各地环保部门做了积极的治理．马鞍山市环保局从市区2015年11月～12月和2016年11月～12月的PM2.5检测数据中各随机抽取15天的数据来分析治理效果．样本数据如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）
PM2.5日均值k（微克）空气质量等级
k≤35一级
35＜k＜75二级
k＞75超标
（Ⅰ）分别求这两年样本数据的中位数和平均值，并以此推断2016年11月～12月的空气质量是否比2015年同期有所提高？
（Ⅱ）在2016年的样本数据中随机抽取3天，以X表示抽到空气质量为一级的天数，求X的分布列与期望．
 

分析 （1）利用平均数计算公式即可得出．
（2）2016年的15个数据中有4天空气质量为一级，故X的所有可能取值是0，1，2，3，利用P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{3-k}{∁}_{11}^{k}}{{∁}_{15}^{3}}$即可得出．

解答 解：（1）2015年数据的中位数是58，平均数是$\frac{28+31+31+41+41+44+45+58+60+61+75+77+84+92+98}{15}$≈57.3
2016年数据的中位数是51，平均数是$\frac{17+18+23+30+39+39+49+51+52+55+58+62+63+69+70}{15}$
≈46.3．
2016年11月～12月比2015年11月～12月的空气质量有提高．
（2）2016年的15个数据中有4天空气质量为一级，故X的所有可能取值是0，1，2，3，
利用P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{3-k}{∁}_{11}^{k}}{{∁}_{15}^{3}}$可得：
P（X=0）=$\frac{33}{91}$，P（X=1）=$\frac{44}{91}$，P（X=2）=$\frac{66}{455}$，P（X=3）=$\frac{4}{455}$．

X0123
P$\frac{33}{91}$$\frac{44}{91}$$\frac{66}{455}$$\frac{4}{455}$
E（X）=0+1×$\frac{44}{91}$+2×$\frac{66}{455}$+3×$\frac{4}{455}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查统计和离散型随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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