题目内容
14．（1）计算$\frac{1-i}{{{{（1+i）}^2}}}+\frac{1+i}{{{{（1-i）}^2}}}$（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，并且经过点P（3，$\frac{15}{4}$）和Q（$\frac{16}{3}$，5）的双曲线方程．
分析 （1）直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案；
（2）由题意设出双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{n}=1$，代入两点的坐标，联立方程组求得m，n的值得答案．
解答 解：（1）$\frac{1-i}{{{{（1+i）}^2}}}+\frac{1+i}{{{{（1-i）}^2}}}$=$\frac{1-i}{2i}+\frac{1+i}{-2i}$=$\frac{（1-i）（-i）}{-2{i}^{2}}+\frac{（1+i）i}{-2{i}^{2}}=\frac{-1-i-1+i}{2}=-1$；
（2）由题意设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{n}=1$，
∵双曲线经过点P（3，$\frac{15}{4}$）和Q（$\frac{16}{3}$，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{m}-\frac{225}{16n}=1}\\{\frac{256}{9m}-\frac{25}{n}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-16}\\{n=-9}\end{array}\right.$．
∴双曲线方程为：$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$．
点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查双曲线方程的求法，是基础题．
练习册系列答案
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| A． | $±2\sqrt{2}$ | B． | 6 | C． | 2或6 | D． | -2或-6 |
2．曲线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosθ\\ y=2+3sinθ\end{array}\right.（θ为参数）$，则该曲线的普通方程为（ ）
| A． | $\frac{{{{（x+1）}^2}}}{4}-\frac{{{{（y+2）}^2}}}{9}=1$ | B． | $\frac{{{{（x-1）}^2}}}{4}-\frac{{{{（y-2）}^2}}}{9}=1$ | C． | $\frac{{{{（x+1）}^2}}}{4}+\frac{{{{（y+2）}^2}}}{9}=1$ | D． | $\frac{{{{（x-1）}^2}}}{4}+\frac{{{{（y-2）}^2}}}{9}=1$ |
19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它是形成雾霾天气的主要原因之一．PM2.5日均值越小，空气质量越好.2012年2月29日，国家环保部发布的《环境空气质量标准》见表：
针对日趋严重的雾霾情况各地环保部门做了积极的治理．马鞍山市环保局从市区2015年11月～12月和2016年11月～12月的PM2.5检测数据中各随机抽取15天的数据来分析治理效果．样本数据如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）
（Ⅰ）分别求这两年样本数据的中位数和平均值，并以此推断2016年11月～12月的空气质量是否比2015年同期有所提高？
（Ⅱ）在2016年的样本数据中随机抽取3天，以X表示抽到空气质量为一级的天数，求X的分布列与期望．
针对日趋严重的雾霾情况各地环保部门做了积极的治理．马鞍山市环保局从市区2015年11月～12月和2016年11月～12月的PM2.5检测数据中各随机抽取15天的数据来分析治理效果．样本数据如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）
| PM2.5日均值k（微克） | 空气质量等级 |
| k≤35 | 一级 |
| 35＜k＜75 | 二级 |
| k＞75 | 超标 |
（Ⅱ）在2016年的样本数据中随机抽取3天，以X表示抽到空气质量为一级的天数，求X的分布列与期望．