Question

3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别为A₁C₁，BB₁的中点，B₁C⊥AB，侧面BCC₁B₁为菱形．求证：
（Ⅰ）DE∥平面ABC₁；
（Ⅱ）B₁C⊥DE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AA₁的中点F，连DF，FE．由DF∥AC₁，EF∥AB．可证DF∥平面ABC₁．同理根据线面平行的判定定理可证EF∥平面ABC₁，可证平面DEF∥平面ABC₁，即可证明DE∥平面ABC₁．
（Ⅱ）由B₁C⊥BC₁．又B₁C⊥AB，可证B₁C⊥平面ABC₁．即可证明B₁C⊥平面DEF，从而可证B₁C⊥DE．

解答 解：（Ⅰ）如图，取AA₁的中点F，连DF，FE．又因为D，E分别为A₁C₁，BB₁的中点，
所以DF∥AC₁，EF∥AB．
因为DF?平面ABC₁，AC₁?平面ABC₁，
故DF∥平面ABC₁．…（3分）
同理，EF∥平面ABC₁．
因为DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，
所以平面DEF∥平面ABC₁．…（5分）
因为DE?平面DEF，所以DE∥平面ABC₁．…（7分）
（Ⅱ）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面BCC₁B₁为菱形，
故B₁C⊥BC₁．…（9分）
又B₁C⊥AB，且AB，BC₁为平面ABC₁内的两条相交直线，
所以B₁C⊥平面ABC₁．…（12分）
而平面DEF∥平面ABC₁，所以B₁C⊥平面DEF，
因为DE?平面DEF，
所以B₁C⊥DE．…（14分）

点评 本题主要考查空间直线和平面平行以及面面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，利用相应的判定定理是解决本题的关键，属于中档题．