题目内容
已知函数f（x）是定义域为R的函数，且满足f（1）=2，f′（x）＜f（x）+1，则不等式f（x）+1＜3ex-1的解集为 ．
考点：导数的运算,其他不等式的解法
专题：函数的性质及应用
分析：构造函数g（x）=
，利用导数研究其单调性即可得出．
| f(x)+1 |
| ex-1 |
解答：
解：构造函数g（x）=
，则g′（x）=
，
∵满足f（1）=2，f′（x）＜f（x）+1，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在R上单调递减，g（1）=f（1）+1=3．
∴不等式f（x）+1＜3ex-1变为g（x）=
＜g(1)，
解集为{x|x＞1}．
故答案为：{x|x＞1}．
| f(x)+1 |
| ex-1 |
| f′(x)-f(x)-1 |
| ex-1 |
∵满足f（1）=2，f′（x）＜f（x）+1，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在R上单调递减，g（1）=f（1）+1=3．
∴不等式f（x）+1＜3ex-1变为g（x）=
| f(x)+1 |
| ex-1 |
解集为{x|x＞1}．
故答案为：{x|x＞1}．
点评：本题考查了构造函数法、利用导数研究其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
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若向量
满足|
|=2，且向量
与向量
-
的夹角等
，则|
|的最大值为（ ）
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| π |
| 6 |
| b |
| A、2 | ||||
| B、4 | ||||
C、2
| ||||
D、
|
某校为了了解学生的课外阅读情况，随机抽查了50名学生，得到他们某一天各自课外阅读的时间数据如图所示，根据条形图可得到这50名学生该天每人的平均课外阅读时间为已知向量
=（{1，
），
=（3，m），若向量
与
的夹角为
，则实数m的值为（ ）
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| π |
| 2 |
A、2
| ||
B、
| ||
| C、0 | ||
D、-
|