题目内容
如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，在△PAD中| PA |
| PD |
| PE |
（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（2）如果AB=BC，∠PAD=60°，求DC与平面PBE的正弦值．
考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）由矩形性质得CD⊥AD，由线面垂直得CD⊥PA，直角三角形性质得PD⊥PA．所以PA⊥平面PCD，由此能证明平面PAB⊥平面PCD．
（2）以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系，利用向量法能示出DC与平面PBE的正弦值．
（2）以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系，利用向量法能示出DC与平面PBE的正弦值．
解答：
（1）证明：∵四棱锥P-ABCD的底面是矩形
所以CD⊥AD，
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴CD⊥PA，
∵在△PAD中，
+
=2
，且AD=2PE
∴PD⊥PA
而CD∩PD=D
∴PA⊥平面PCD，
∵PA?平面PAB
∴平面PAB⊥平面PCD…（4分）
（2）解：如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A-xyz，
设AB=4，
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），
D（0，4，0）E（0，2，0）
在Rt△APD中AD=4，∠PAD=60°，
∴P（0，1，
） …（6分）
∴
=（-4，1，
），
=（-4，2，0），
设平面PBE的一个法向量为
=（x，y，z），
由
，得
．
令y=2得x=1，z=
，∴
=（1，2，
）…（10分）
而
=（4，0，0），
∴cos＜
，
＞=
=
，
∴DC与平面PBE所成角的正弦值为
．…（12分）
（1）证明：∵四棱锥P-ABCD的底面是矩形所以CD⊥AD，
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴CD⊥PA，
∵在△PAD中，
| PA |
| PD |
| PE |
∴PD⊥PA
而CD∩PD=D
∴PA⊥平面PCD，
∵PA?平面PAB
∴平面PAB⊥平面PCD…（4分）
（2）解：如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A-xyz，
设AB=4，
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），
D（0，4，0）E（0，2，0）
在Rt△APD中AD=4，∠PAD=60°，
∴P（0，1，
| 3 |
∴
| BP |
| 3 |
| BE |
设平面PBE的一个法向量为
| n |
由
|
|
令y=2得x=1，z=
2
| ||
| 3 |
| n |
2
| ||
| 3 |
而
| DC |
∴cos＜
| DC |
| n |
| ||||
|
|
| ||
| 19 |
∴DC与平面PBE所成角的正弦值为
| ||
| 19 |
点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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