Question

在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）A（n）：A₁，A₂，A₃，…，A_n与B（n）：B₁，B₂，B₃，…，B_n，其中n≥3，若同时满足：
①两点列的起点和终点分别相同；
②线段A_iA_i+1⊥B_iB_i+1，其中i=1，2，3，…，n-1，则称A（n）与B（n）互为正交点列．
（Ⅰ）求A（3）：A₁（0，2），A₂（3，0），A₃（5，2）的正交点列B（3）；
（Ⅱ）判断A（4）：A₁（0，0），A₂（3，1），A₃（6，0），A₄（9，1）是否存在正交点列B（4）？并说明理由；
（Ⅲ）?n≥5，n∈N，是否都存在无正交点列的有序整点列A（n）？并证明你的结论．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）由正交点列的定义可知B₁（0，2），B₃（5，2），设B₂（x，y），由正交点列的定义可知
 

A1A2

•

B1B2

=0，

A2A3

•

B2B3

=0，即可得出结论；
（Ⅱ）设点列B₁，B₂，B₃，B₄是点列A₁，A₂，A₃，A₄的正交点列，则可设

B1B2

=λ1(-1，3)，

B2B3

=λ2(1，3)，

B3B4

=λ3(-1，3)，λ₁，λ₂，λ₃∈Z，因为A₁与B₁，A₄与B₄相同，即可得到结论；
（Ⅲ）?n≥5，n∈N，都存在整点列A（n）无正交点列．设

AiAi+1

=(ai，bi)，其中a_i，b_i是一对互质整数，i=1，2，3…，n-1，则有

n-1 i=1 (-λibi)= n-1 1 ai(1) n-1 i=1 λiai= n-1 i=1 bi(2)

，分类讨论，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）设点列A₁（0，2），A₂（3，0），A₃（5，2）的正交点列是B₁，B₂，B₃，
由正交点列的定义可知B₁（0，2），B₃（5，2），
设B₂（x，y），

A1A2

=(3，-2)，

A2A3

=(2，2)，

B1B2

=(x，y-2)，

B2B3

=(5-x，2-y)，
由正交点列的定义可知 

A1A2

•

B1B2

=0，

A2A3

•

B2B3

=0，
即

3x-2(y-2)=0 2(5-x)+2(2-y)=0

，解得

x=2 y=5

所以点列A₁（0，2），A₂（3，0），A₃（5，2）的正交点列是B₁（0，2），B₂（2，5），B₃（5，2）．（3分）
（Ⅱ）由题可得 

A1A2

=(3，1)，

A2A3

=(3，-1)，

A3A4

=(3，1)，
设点列B₁，B₂，B₃，B₄是点列A₁，A₂，A₃，A₄的正交点列，
则可设

B1B2

=λ1(-1，3)，

B2B3

=λ2(1，3)，

B3B4

=λ3(-1，3)，λ₁，λ₂，λ₃∈Z
因为A₁与B₁，A₄与B₄相同，所以有

-λ1+λ2-λ3=0(1) 3λ1+3λ2+3λ3=1(2)

因为λ₁，λ₂，λ₃∈Z，方程（2）显然不成立，
所以有序整点列A₁（0，0），A₂（3，1），A₃（6，0），A₄（9，1）不存在正交点列；------------（8分）
（Ⅲ）?n≥5，n∈N，都存在整点列A（n）无正交点列．-------------------------（9分）
?n≥5，n∈N，设

AiAi+1

=(ai，bi)，其中a_i，b_i是一对互质整数，i=1，2，3…，n-1
若有序整点列B₁，B₂，B₃，…B_n是点列A₁，A₂，A₃，…A_n正交点列，
则

BiBi+1

=λi(-bi，ai)，i=1，2，3，…，n-1，
则有

n-1 i=1 (-λibi)= n-1 1 ai(1) n-1 i=1 λiai= n-1 i=1 bi(2)

①当n为偶数时，取A₁（0，0），ai=3，bi=

1，i为奇数 -1，i为偶数

，i=1，2，3，…，n-1．
由于B₁，B₂，B₃，…B_n是整点列，所以有λ_i∈Z，i=1，2，3，…，n-1．
等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，
所以该点列A₁，A₂，A₃，…A_n无正交点列；
②当n为奇数时，取A₁（0，0），a₁=3，b₁=2，ai=3，bi=

1，i为奇数 -1，i为偶数

，i=2，3，…，n-1，
由于B₁，B₂，B₃，…B_n是整点列，所以有λ_i∈Z，i=1，2，3，…，n-1．
等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，
所以该点列A₁，A₂，A₃，…A_n无正交点列．
综上所述，?n≥5，n∈N，都不存在无正交点列的有序整数点列A（n）----------（13分）

点评：本题考查数列的应用，考查新定义，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，难度大．