Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左顶点A作与实轴垂直的直线，交两渐近线于M、N两点，F为该双曲线的右焦点，若△FMN的内切圆恰好是x²+y²=a²，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  6

  2

• D、2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出M，N的坐标，利用F为该双曲线的右焦点，若△FMN的内切圆恰好是x²+y²=a²，可得

c

a

=

b2+(a+c)2

b

，即可求出双曲线的离心率．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay=0，
x=-a时，可得M（-a，b），N（-a，-b），
∵F为该双曲线的右焦点，若△FMN的内切圆恰好是x²+y²=a²，
∴

c

a

=

b2+(a+c)2

b

，
∴e³-3e-2=0，
∴e=2．
故选：D．

点评：本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定a，c的关系是关键．