Question

已知数列{a_n}满足a₁=-

1

2

，1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0（其中λ≠0且λ≠-1，n∈N^*）
（1）若a₂²=a₁•a₃，求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）在（1）的条件下，数列{a_n}中是否存在三项构成等差数列．若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由已知递推公式可求出a₂，a₃，结合已知a₂²=a₁•a₃，可求λ的值，即可得到结论．
（2）假设存在任意三项a_m，a_k，a_p成等差数列．建立条件关系即可得到结论．

解答： 解：（1）当n=1时，a₂=

1

2λ

，a₃=

1

2λ

+

1

2λ2

，
由a₂²=a₁•a₃，得λ=-2，
由1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0得：
1+a₁+a₂+…+a_n-1-λa_n=0，（n≥2），
两式相减得（1+λ）a_n-λa_n+1=0，
又λ≠0且λ≠-1，
∴a_n+1=

1+λ

λ

a_n=

1

2

a_n，（n≥2），
故数列{a_n}从第二项起是等比数列．
∵a₂=

1

2λ

=-

1

4

，
∴n≥2，an=-

1

4

(

1

2

)n-2=-

1

2n

，
∵a₁=-

1

2

，
∴数列{a_n}的通项公式an=-

1

4

(

1

2

)n-2=-

1

2n

．
（2）假设存在任意三项a_m，a_k，a_p成等差数列，不妨设当m＞k＞p≥1，
由数列{a_n}单调递增，∴2a_k=a_m+a_p，
即2×(-

1

2k

)=-

1

2m

-

1

2p

，
整理得2^m-k+1=2^m-p+1，
若此式成立，则必有m-p=0且m-k+1=1，
故有m=p=k，和假设m＞k＞p矛盾，
故不存在三项构成等差数列．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，探索数列{a_n}中是否存在三项成等差数列．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．