Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=

1

2

，且满足2S_n+1=4S_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n：
（Ⅱ）若b_n=-3+log₂a_n（n∈N^*）求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）2S_n+1=4S_n+1（n∈N^*），可得当n≥2时，2S_n=4S_n-1+1，2a_n+1=4a_n，即a_n+1=2a_n，当n=1时，2（a₁+a₂）=4a₁+1，解得a₂=1．满足

a2

a1

=2．
∴数列{a_n}是等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）b_n=-3+log₂a_n=-3+log22n-2=n-5．数列{b_n}的前n项和S_n=

n(-4+n-9)

2

=

n(n-9)

2

．当1≤n≤5时，数列{|b_n|}的前n项和T_n=-S_n．当6≤n时，数列{|b_n|}的前n项和T_n=-S₅+b₆+b₇+…+b_n=-2S₅+S_n即可得出．

解答： 解：（I）∵2S_n+1=4S_n+1（n∈N^*），∴当n≥2时，2S_n=4S_n-1+1，
∴2a_n+1=4a_n，即a_n+1=2a_n，
2（a₁+a₂）=4a₁+1，
∴2(

1

2

+a2)=4×

1

2

+1，
解得a₂=1．满足

a2

a1

=2．
∴数列{a_n}是等比数列，
通项公式a_n=

1

2

×2n-1=2^n-2．
（II）b_n=-3+log₂a_n=-3+log22n-2=n-5．
数列{b_n}的前n项和S_n=

n(-4+n-5)

2

=

n(n-9)

2

当1≤n≤5时，数列{|b_n|}的前n项和T_n=-S_n=

n(9-n)

2

．
当6≤n时，数列{|b_n|}的前n项和T_n=-S₅+b₆+b₇+…+b_n
=-2S₅+S_n
=

n(n-9)

2

-2×

5×(5-9)

2

=

n(n-9)

2

+20．
综上可得：T_n=

n(9-n) 2 ，1≤n≤5 n(n-9) 2 +20，n≥6

．

点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．