Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点(a_n＋2，S_n＋1)在直线y＝4x－5上，其中n∈N^*.令b_n＝a_n＋1－2a_n，且a₁＝1.

(1)求数列{b_n}的通项公式；

(2)若f(x)＝b₁x＋b₂x²＋b₃x³＋…＋b_nxⁿ，求f ′(1)的表达式．

Answer 1

　(1)∵S_n＋1＝4(a_n＋2)－5，∴S_n＋1＝4a_n＋3.

∴S_n＝4a_n－1＋3(n≥2)，∴a_n＋1＝4a_n－4a_n－1(n≥2)，

∴a_n＋1－2a_n＝2(a_n－2a_n－1)(n≥2)．

∴＝2(n≥2)．

∴数列{b_n}为等比数列，其公比为q＝2，首项b₁＝a₂－2a₁，

而a₁＋a₂＝4a₁＋3，且a₁＝1，∴a₂＝6.

∴b₁＝6－2＝4，∴b_n＝4×2^n－1＝2^n＋1.

(2)∵f(x)＝b₁x＋b₂x²＋b₃x³＋…＋b_nxⁿ，

∴f ′(1)＝b₁＋2b₂＋3b₃＋…＋nb_n.

∴f ′(1)＝2²＋2·2³＋3·2⁴＋…＋n·2^n＋1①

∴2f ′(1)＝2³＋2·2⁴＋3·2⁵＋…＋n·2^n＋2②

①－②得－f ′(1)＝2²＋2³＋2⁴＋…＋2^n＋1－n·2^n＋2

＝－n·2^n＋2＝－4(1－2ⁿ)－n·2^n＋2，

∴f ′(1)＝4＋(n－1)·2^n＋2.