Question

已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y₀）．若点M到该抛物线焦点F的距离为3，延长MF交抛物线于点N．
（1）求抛物线的方程；
（2）求MN的长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可设抛物线的方程为：y²=2px（p＞0）．由于点M（2，y₀）到该抛物线焦点F的距离为3，可得2+

p

2

=3，解得p即可得出．
（2）由抛物线方程可得焦点F（1，0）．把点M（2，y₀）代入抛物线方程可得M(2，2

2

)（取y₀＞0）．可得直线MN的方程为y=

2 2 -0

2-1

(x-1)，与抛物线方程联立可得x₁+x₂=

5

2

．利用焦半径可得|MN|=x₁+x₂+p．

解答： 解：（1）由题意可设抛物线的方程为：y²=2px（p＞0）．
∵点M（2，y₀）到该抛物线焦点F的距离为3，
∴2+

p

2

=3，解得p=2．
∴抛物线的方程为：y²=4x．
（2）由抛物线方程可得焦点F（1，0）．
把点M（2，y₀）代入抛物线方程可得

y

2 0

=4×2，取y₀=2

2

．
∴M(2，2

2

)．
∴直线MN的方程为y=

2 2 -0

2-1

(x-1)，化为y=2

2

(x-1)，
代入抛物线方程可得：8（x-1）²=4x，化为2x²-5x+2=0，
解得x₁+x₂=

5

2

．
∴|MN|=x₁+x₂+p=

5

2

+2=

9

2

．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦半径公式、弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．