Question

6．若方程$\sqrt{4x-{x^2}}=\frac{3}{4}x+m$有实数解，则m的取值范围是[-3，1]．

Answer 1

分析 根据函数与方程之间的关系转化两个函数有交点问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：设y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$，则等价为（x-2）²+y²=4，（y≥0）对应的根据为圆的上半部分，
设y=$\frac{3}{4}$x+m，即3x-4y+4m=0
作出对应的图象如图：
当直线经过点（4，0）时，满足条件，
此时$\frac{3}{4}$×4+m=0，得m=-3，
当直线和圆相切时（m＞0），
圆心到直线的距离d=$\frac{|6+4m|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=2$，
即$\frac{|3+2m|}{5}=1$，则|2m+3|=5
得m=1或m=-4（舍），
故要使方程$\sqrt{4x-{x^2}}=\frac{3}{4}x+m$有实数解，
则-3≤m≤1，
故答案为：[-3，1]

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为直线和圆的位置关系是解决本题的关键．注意利用数形结合进行判断．