题目内容
5．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，已知第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为$\frac{6}{7}$，$\frac{5}{6}$，$\frac{14}{15}$，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求审核过程中只进行两道程序就停止审核的概率；
（2）现有3部该智能手机进入审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望．
分析 （1）记审核过程中只进行两道程序就停止审核为事件A，利用相互独立事件概率乘法公式能求出事件A发生的概率．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，一部手机通过三道审核可以出厂的概率为$\frac{2}{3}$，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
解答 （12分）
解：（1）记审核过程中只进行两道程序就停止审核为事件A，
事件A发生的概率$P（A）=\frac{6}{7}×（1-\frac{5}{6}）=\frac{1}{7}$．（4分）
（2）X的可能取值为0，1，2，3．
一部手机通过三道审核可以出厂的概率为$\frac{6}{7}×\frac{5}{6}×\frac{14}{15}=\frac{2}{3}$，（6分）
$P（X=0）=C_3^0{（1-\frac{2}{3}）^3}=\frac{1}{27}$，
$P（X=1）=C_3^1{（1-\frac{2}{3}）^2}×\frac{2}{3}=\frac{6}{27}$，
$P（X=2）=C_3^2{（1-\frac{2}{3}）^1}×{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{12}{27}$，
$P（X=3）=C_3^3{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$．
∴X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{1}{27}$ | $\frac{6}{27}$ | $\frac{12}{27}$ | $\frac{8}{27}$ |
数学期望$E（X）=\frac{1×6+2×12+3×8}{27}=2$．（12分）
点评 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、离散型随机事件概率分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
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15．对任意的n∈N*，数列{an}满足|an-cos2n|≤$\frac{1}{3}$且|an+sin2n|≤$\frac{2}{3}$，则an等于（ ）
| A． | $\frac{2}{3}$-sin2n | B． | sin2n-$\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{1}{3}$-cos2n | D． | cos2n+$\frac{1}{3}$ |
16．
为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①$y={C_1}{x^2}+{C_2}$与模型；②$y={e^{{C_3}x+{C_4}}}$作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系．
其中${t_i}={x_i}^2$，$\overline t=\frac{1}{7}\sum_{i=1}^7{t_i}$，zi=lnyi，$\overline z=\frac{1}{7}\sum_{i=1}^7{z_i}$，
附：对于一组数据（μ1，ν1），（μ2，ν2），…（μn，νn），其回归直线v=βμ+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{μ_i}-\bar μ）（{ν_i}-\bar ν）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{μ_i}-\bar μ）}^2}}}}$，$α=\bar ν-β\bar μ$
（1）根据表中数据，分别建立两个模型下y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30°C时的产卵数．（C1，C2，C3，C4与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：e4.65≈104.58，e4.85≈127.74，e5.05≈156.02）
（2）若模型①、②的相关指数计算分别为${R_1}^2=0.82，{R_2}^2=0.96$．，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好．
为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①$y={C_1}{x^2}+{C_2}$与模型；②$y={e^{{C_3}x+{C_4}}}$作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系．| 温度x/°C | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 |
| 产卵数y/个 | 6 | 10 | 21 | 24 | 64 | 113 | 322 |
| t=x2 | 400 | 484 | 576 | 676 | 784 | 900 | 1024 |
| z=lny | 1.79 | 2.30 | 3.04 | 3.18 | 4.16 | 4.73 | 5.77 |
| $\overline x$ | $\overline t$ | $\overline y$ | $\overline z$ |
| 26 | 692 | 80 | 3.57 |
| $\frac{{\sum_{i=1}^7{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$ | $\frac{{\sum_{i=1}^7{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}$ | $\frac{{\sum_{i=1}^7{（{z_i}-\overline z）（{x_i}-\overline x）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$ | $\frac{{\sum_{i=1}^7{（{z_i}-\overline z）（{t_i}-\overline t）}}}{{\sum_{i=1}^7{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}$ |
| 1157.54 | 0.43 | 0.32 | 0.00012 |
附：对于一组数据（μ1，ν1），（μ2，ν2），…（μn，νn），其回归直线v=βμ+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{μ_i}-\bar μ）（{ν_i}-\bar ν）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{μ_i}-\bar μ）}^2}}}}$，$α=\bar ν-β\bar μ$
（1）根据表中数据，分别建立两个模型下y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30°C时的产卵数．（C1，C2，C3，C4与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：e4.65≈104.58，e4.85≈127.74，e5.05≈156.02）
（2）若模型①、②的相关指数计算分别为${R_1}^2=0.82，{R_2}^2=0.96$．，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好．
20．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3xf'（1）+lnx，则f′（1）=（ ）
| A． | -$\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | -1 | D． | e |