Question

8．函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[-2b，-2a]，那么y=f（x）叫做H函数，若函数f（x）=（3-x）${\;}^{\frac{1}{2}}$-k是H函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 函数于函数f（x）=（3-x）${\;}^{\frac{1}{2}}$-k是在（-∞，3]上是减函数，由②可得 f（a）=-2a，f（b）=-2b，a和b 是关于x的方程$\sqrt{3-x}$-k=-2x在（-∞，3]上有两个不同实根．讨论以确定实数k的取值范围．

解答 解：由于函数f（x）=（3-x）${\;}^{\frac{1}{2}}$-k是在（-∞，3]上是减函数，故满足①，
又f（x）在[a，b]上的值域为[-2b，-2a]，
∴（3-a）${\;}^{\frac{1}{2}}$-k=-2a，（3-b）${\;}^{\frac{1}{2}}$-k=-2b
∴a和b 是关于x的方程$\sqrt{3-x}$-k=-2x在（-∞，3]上有两个不同实根，
即方程4x²+（1-4k）x+k²-3=0（x≤3且x≤$\frac{k}{2}$）有两个不相等的实根，
令g（x）=4x²+（1-4k）x+k²-3．
当$\frac{k}{2}$≥3时，有$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{g（3）≥0}\\{-\frac{1-4k}{8}＜3}\end{array}\right.$，解得6≤k＜$\frac{49}{8}$，
当$\frac{k}{2}$＜3时，有$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{g（\frac{k}{2}）≥0}\\{-\frac{1-4k}{8}＜\frac{k}{2}}\end{array}\right.$，无解，
综上所述，实数k的取值范围是[6，$\frac{49}{8}$）．

点评 本题考查函数的单调性的应用，求函数的值域，体现了转化的数学思想，得到a和b 是$\sqrt{3-x}$-k=-2x在（-∞，3]上有两个不同实根是解题的难点，属中档题．