Question

19．已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，a_n+1+2a_n-1=3a_n（n≥2）．
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=a_n-1，S_n=$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，若?n∈N^*，使S_n≥4m²-3m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由a_n+1+2a_n-1=3a_n（n≥2），变形为a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），a₂-a₁=2，利用等比数列的定义即可证明．
（II）由（I）可得：a_n+1-a_n=2ⁿ，利用“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出．
（III）b_n=a_n-1=2ⁿ-1，可得$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．利用“裂项求和”方法可得S_n，再利用数列的单调性、不等式的解法即可得出．

解答 （I）证明：∵a_n+1+2a_n-1=3a_n（n≥2），∴a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），a₂-a₁=2，
∴数列{a_n+1-a_n}是等比数列，首项为2，公比为2．
（II）解：由（I）可得：a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+2
=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+1=2ⁿ．
（III）解：b_n=a_n-1=2ⁿ-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
∴S_n=$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$（1-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
若?n∈N^*，使S_n≥4m²-3m成立，
∴1＞4m²-3m，解得：$-\frac{1}{4}$＜m＜1．
∴实数m的取值范围是$（-\frac{1}{4}，1）$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”方法、“累加求和”方法、数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．