Question

数列{a_n}中，已知对于任意正整数n，a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，记b_n=nlog₂a_n，则b_n的前n项和S_n=（　　）

• A、

  n3-n

  3

• B、

  n3-3n2+2n

  3

• C、

  n3+n

  3

• D、

  n3+3n2+2n

  3

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件，令数列{a_n}前n项和与前n-1项和相减求出a_n=2^n-1，由此推导出b_n=n²-n，从而能求出
{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：由a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，n∈N^*，①
知a₁=1，且a₁+a₂+…+a_n-1=2^n-1-1．②
①-②得a_n=2^n-1，n≥2．
又a₁=1，∴a_n=2^n-1，n∈N^*，
∴b_n=nlog₂a_n=nlog22n-1=n（n-1）=n²-n，
∴S_n=（1²+2²+3²+…+n²）-（1+2+3+…+n）
=

n(n+1)(2n+1)

6

-

n(n+1)

2

=

n3-n

3

．
故选：A．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．