题目内容
如图，在△ABC中，D是边AC的中点，且AB=AD=1，BD=2
| ||
| 3 |
（1）求cosA的值；
（2）求sinC的值．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：三角函数的求值
分析：（1）由余弦定理列出关系式，将AB，AD，BD的长代入求出cosA的值即可；
（2）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据D为AC中点，得到AC=2AD，求出AC的长，利用余弦定理表示出cosA，将AB，AC代入求出BC的长，再由AB，BC，sinA的值，利用正弦定理即可求出sinC的值．
（2）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据D为AC中点，得到AC=2AD，求出AC的长，利用余弦定理表示出cosA，将AB，AC代入求出BC的长，再由AB，BC，sinA的值，利用正弦定理即可求出sinC的值．
解答：
解：（1）在△ABD中，AB=AD=1，BD=
，
∴cosA=
=
=
；
（2）由（1）知，cosA=
，且0＜A＜π，
∴sinA=
=
，
∵D是边AC的中点，
∴AC=2AD=2，
在△ABC中，cosA=
=
=
，
解得：BC=
，
由正弦定理
=
得，sinC=
=
．
2
| ||
| 3 |
∴cosA=
| AB2+AD2-BD2 |
| 2AB•AD |
1+1-
| ||
| 2×1×1 |
| 1 |
| 3 |
（2）由（1）知，cosA=
| 1 |
| 3 |
∴sinA=
| 1-cos2A |
2
| ||
| 3 |
∵D是边AC的中点，
∴AC=2AD=2，
在△ABC中，cosA=
| AB2+AC2-BC2 |
| 2AB•AC |
| 1+4-BC2 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
解得：BC=
| ||
| 3 |
由正弦定理
| BC |
| sinA |
| AB |
| sinC |
| ABsinA |
| BC |
1×
| ||||
|
2
| ||
| 33 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．
练习册系列答案
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| A、x+2y-5=0 |
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