Question

已知x，y满足

x≥0 y≤x 2x+y+k≤0.

，若z=x+3y的最大值为12，试求k的值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：对k的取值进行讨论，分k≥0和k＜0两种情况进行求解．

解答： 解：由于k的不同取值将影响不等式所表示的平面区域，故应对k的取值进行讨论．
①若k≥0，在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域（如图），由于z=x+3y，所以y=-

1

3

x+

1

3

z，因此当直线y=-

1

3

x+

1

3

z经过区域中的点A（0，-k）时，
z取到最大值，等于-3k，令-3k=12，得k=-4，这与k≥0相矛盾，舍去．
②若k＜0，在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域（如图），
这时，当直线y=-

1

3

x+

1

3

z经过区域中的点A（-

k

3

，-

k

3

）时，z取到最大值，等于-

4k

3

，
令-

4k

3

=12，得k=-9．

综上，所求k的值为-9．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．考查分类讨论的思想方法．