题目内容

10．点P是在△ABC的内心，已知AB=3，AC=4，∠A=90°．存在实数λ，μ，使$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，则（　　）
A．λ=$\frac{1}{3}$，μ=$\frac{1}{4}$B．λ=$\frac{1}{3}$，μ=$\frac{2}{9}$C．λ=$\frac{1}{2}$，μ=$\frac{1}{3}$D．λ=$\frac{1}{4}$，μ=$\frac{1}{3}$

分析 求出内切圆半径，利用向量加法的几何意义得出λ，μ．

解答 解∵AB=3，AC=4，∠A=90°，∴BC=5．
设三角形ABC的内切圆半径为r，过点P作三边的垂线PD，PE，PF，
则四边形ADPE是正方形，∴AD=AE=r，
CF=CD=4-r，BF=BE=3-r，
∴PB=CF+BF=7-2r=5．解得r=1．∴AE=$\frac{1}{3}AB$，AD=$\frac{1}{4}AC$．
∴$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$．
又$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，
∴λ=$\frac{1}{3}$，μ=$\frac{1}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，属于基础题．

练习册系列答案
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