Question

3．（Ⅰ）若双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，求此双曲线的离心率和渐进线方程；
（Ⅱ）抛物线的顶点在原点，准线是y=8，求抛物线的标准方程和焦点坐标．

Answer 1

分析 （I）双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得a=2$\sqrt{3}$，b=2，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$．可得此双曲线的离心率=$\frac{c}{a}$，渐进线方程为：y=±$\frac{b}{a}$x．
（Ⅱ）由题意可设抛物线的标准方程为：x²=-2py，（p＞0），由准线是y=8=$\frac{p}{2}$，解得p．可得抛物线的标准方程与焦点坐标为（0，-$\frac{p}{2}$）．

解答 解：（I）双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，∴a=2$\sqrt{3}$，b=2，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=4．
∴此双曲线的离心率=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，渐进线方程为：y=±$\frac{b}{a}$x=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
（Ⅱ）由题意可设抛物线的标准方程为：x²=-2py，（p＞0），
∵准线是y=8=$\frac{p}{2}$，解得p=16．
∴抛物线的标准方程为：x²=-32y．
焦点坐标为（0，-8）．

点评 本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．