Question

2．已知|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{BC}$|=1，∠ABC=60°，P是线段AB上一点（包括端点），则$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AB}$的最小值为（　　）

• A． -3
• B． 3
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 可画出图形，并连接AC，并得出AC⊥AB，而$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{CP}||\overrightarrow{AB}|cos＜\overrightarrow{CP}，\overrightarrow{AB}＞$，由图形可看出当P在线段AB上（包括B点，不包括A点）时，向量$\overrightarrow{CP}，\overrightarrow{AB}$的夹角都是锐角，只有P点和A点重合时，夹角变为直角，从而得出数量积$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AB}$的最小值．

解答 解：如图，连接AC，根据条件知，AC⊥AB；
$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{CP}||\overrightarrow{AB}|cos＜\overrightarrow{CP}，\overrightarrow{AB}＞$；
由图看出，P从B向A移动时，$\overrightarrow{CP}$与$\overrightarrow{AB}$的夹角逐渐增大，当P与A重合时，夹角增大到$\frac{π}{2}$；
∴P与A重合时，$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AB}$最小，最小值为0．
故选C．

点评 考查数形结合解题的方法，向量数量积的计算公式，向量垂直的充要条件，知道30°所对的直角边为斜边的一半．