Question

7．下面有5个命题：
①函数y=sin2x的最小正周期是π．
②若α为第二象限角，则$\frac{α}{3}$在一、三、四象限；
③在同一坐标系中，函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有3个公共点．
④把函数y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象向右平移$\frac{π}{6}$得到y=3sin2x的图象．
⑤函数y=sin（x-$\frac{π}{2}$）在[0，π]上是减函数．
其中，真命题的编号是①④．（写出所有真命题的编号）

Answer 1

分析 直接求出y=sin2x的周期判断①的真假；由α为第二象限角，得到$\frac{α}{3}$的范围判断②；构造函数f（x）=sinx-x，求出导数判断函数的单调性，由f（0）=0，可以判断③的假；根据函数图象的平移变换法则，可以判断④的真假；根据诱导公式，将函数化为余弦型，进而根据余弦函数的单调性，可以判断⑤的真假．

解答 解：①函数y=sin2x的最小正周期是π，故①正确；
②若α为第二象限角，即$\frac{π}{2}+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z$，
则$\frac{π}{6}+\frac{2kπ}{3}＜\frac{α}{3}＜\frac{π}{3}+\frac{2kπ}{3}，k∈Z$，
∴$\frac{α}{3}$在一、二、四象限，故②错误；
③设f（x）=sinx-x，其导函数y′=cosx-1≤0，
∴f（x）在R上单调递减，且f（0）=0，
∴f（x）=sinx-x图象与轴只有一个交点．
∴f（x）=sinx与y=x 图象只有一个交点，故③错误；
④由题意得，y=3sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=3sin2x，故④正确；
⑤由y=sin（x-$\frac{π}{2}$）=-cosx，可得y=sin（x-$\frac{π}{2}$）在[0，π]上是增函数，故⑤错误．
故答案为：①④．

点评 本题考查命题的真假判断及其应用，终边相同的角，正弦函数的性质，图象的平移变换，及三角函数的单调性，是中档题．