Question

12．已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值，过点A（1，m）作曲线y=f（x）的切线，若-3＜m＜-2，则满足条件的切线条数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 1或2

Answer 1

分析 由f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值，可得f'（1）=f'（-1）=0，得到a、b的方程组，求解得到a，b的值，则函数解析式可求设出切点为M（x₀，y₀），根据切点在曲线y=f（x）上和导数的几何意义建立等量关系，推出2x₀³-3x₀²+m+3=0，构造函数g（x）=2x³-3x²+m+3，求出其极大值和极小值，由m得范围可得方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有3个解，从而得到切线条数．

解答 解：f'（x）=3ax²+2bx-3，依题意，f'（1）=f'（-1）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b-3=0}\\{3a-2b-3=0}\end{array}\right.$，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³-3x，则f′（x）=3x²-3．
设切点为M（x₀，x₀³-3x₀），则f′（x₀）=3（x₀²-1），
∴切线的方程为y-x₀³+3x₀=3（x₀²-1）（x-x₀），
把点A（1，m）代入切线方程得m-x₀³+3x₀=3（x₀²-1）（1-x₀），
整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0．
令g（x）=2x³-3x²+m+3，则g′（x）=6x²-6x=6x（x-1）．
当x∈（-∞，0）∪（1，+∞）时，g′（x）＞0，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（-∞，0），（1，+∞）上为增函数，在（0，1）上为减函数．
∴函数g（x）的极大值为g（0）=m+3，极小值为g（1）=m+2．
∵-3＜m＜-2，∴g（0）＞0，g（1）＜0．
又当x→-∞时，g（x）→-∞，当x→+∞时，g（x）→+∞，
∴关于x₀方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有三个实根，即曲线y=f（x）的切线有3条．
故选：C．

点评 本题考查了导数的几何意义，利用导数求函数的极值和最值等知识，考查数学转化思想方法，是中档题．