Question

18．已知函数f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x²-2．
（1）若对任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若a=-1时，当且仅当x=$\frac{1}{e^2}$时，f（x）的最小值为-$\frac{1}{e^2}$，证明：对任意x∈（0，+∞），都有lnx+1＞$\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$成立．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，将原不等式转化成a≤lnx+x+$\frac{2}{x}$在x∈（0，+∞） 恒成立，构造F（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$，求导，根据函数单调性，F（x）在x=1处取得极小值，也是最小值，即F（x）_min=F（1）=3，实数a的取值范围；
（2）将问题转化成xlnx+x＞$\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，（x∈（0，+∞））恒成立，G（x）=$\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，求导，根据函数的单调性可知，G（x）在x=1处取得极大值，也是最大值，G（x）_max=G（1）=-$\frac{1}{e}$，
-$\frac{1}{e^2}$＞-$\frac{1}{e}$，所以不等式得证．

解答 解：（1）对任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
即xlnx-ax≥-x²-2恒成立，也就是a≤lnx+x+$\frac{2}{x}$在x∈（0，+∞） 恒成立．
令F（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$，则F′（x）=$\frac{1}{x}+1-\frac{2}{x^2}=\frac{{{x^2}+x-2}}{x^2}=\frac{（x+2）（x-1）}{x^2}$…（3分）
在区间（0，1），F′（x）＜0，在区间（1，+∞），F′（x）＞0，
∴F（x）在x=1处取得极小值，也是最小值，即F（x）_min=F（1）=3，
∴a≤3…（6分）
（2）证明：问题等价于证明，xlnx+x＞$\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，（x∈（0，+∞））恒成立．
设G（x）=$\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$（x∈（0，+∞）），则G′（x）=$\frac{1-x}{e^x}$，
∴当0＜x＜1时，G′（x）＞0，
当x＞1时，G′（x）＜0，
故G（x）在x=1处取得极大值，也是最大值，
∴G（x）_max=G（1）=-$\frac{1}{e}$，
∵-$\frac{1}{e^2}$＞-$\frac{1}{e}$，
∴不等式得证…（12分）

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性及极值，考查导数的综合应用，考查转化思想，属于中档题．