Question

5．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且5asinB=3b．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=3，b+c=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0，求出sinA的值，即可确定出cosA的值．
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，将a，cosA，以及b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）已知等式5asinB=3b，在△ABC中，利用正弦定理得：5sinAsinB=3sinB，
∵sinB≠0，
∴sinA=$\frac{3}{5}$，
∵A为锐角，
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$；
（Ⅱ）∵a=3，cosA=$\frac{4}{5}$，b+c=5，
∴在△ABC中，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
即9=（b+c）²-2bc-$\frac{8}{5}$bc=25-2bc-$\frac{8}{5}$bc，
∴bc=$\frac{40}{9}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×$$\frac{40}{9}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{4}{3}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．