Question

3．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量$\overrightarrow m$=（b，c-2a），$\overrightarrow n$=（2cosC，1），且|$\overrightarrow m$+$\overrightarrow n$|=|$\overrightarrow m$-$\overrightarrow n$|．
（I）求∠B的大小；
（II）若b=2，求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对$|\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}|=|\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}|$的两边平方即可得到$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，进而得出2bcosC+c-2a=0，由余弦定理便可得到$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{a}+c-2a=0$，再应用余弦定理即可求出$∠B=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）b=2带入a²+c²-b²-ac=0便可得出4=a²+c²-ac，根据不等式即可求出ac的范围，这样即可求出△ABC面积的范围，即得出其最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵$|\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}|=|\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}|$；
∴$（\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）^{2}=（\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}）^{2}$；
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2bcosC+c-2a=0$；
∵$cosC=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$；
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{a}+c-2a=0$；
整理得，a²+c²-b²-ac=0；
∴2accosB=ac；
∴$cosB=\frac{1}{2}$；
∴$∠B=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）根据上面，b=2时：
4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac；
∴ac≤4；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsin\frac{π}{3}=\frac{1}{4}ac≤1$；
即△ABC面积的最大值为1．

点评 考查向量数量积的运算，向量数量积的坐标运算，以及余弦定理，已知三角函数值求角，不等式a²+c²≥2ac的运用，以及三角形的面积公式．