Question

各项均为实数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₀=10，S₃₀=70，则S₄₀等于

 

．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意易得公比q≠1，由求和公式可得

a1

1-q

和q¹⁰的方程组，解得代入求和公式可得S₄₀．

解答： 解：若公比q=1，由S₁₀=10可得S₃₀=30≠70，
故公比q≠1，∴S₁₀=

a1(1-q10)

1-q

=10，①
S₃₀=

a1(1-q30)

1-q

=70，②

②

①

可得

1-q30

1-q10

=1+q¹⁰+q²⁰=7，
解得q¹⁰=2，或q¹⁰=-3，
∵等比数列{a_n}的各项均为实数，∴q¹⁰=2，
代回①式可得

a1

1-q

=-10
∴S₄₀=

a1(1-q40)

1-q

=-10×（1-2⁴）=150
故答案为：150．

点评：本题考查等比数列的前n项和，涉及分类讨论的思想和整体的思想，属中档题．