题目内容
3．已知曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t是参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）判断曲线C1与曲线C2是否相交，若相交，求出交点A，B间的距离，若不想交，请说明理由．
分析 （Ⅰ）由ρ=2sinθ+4cosθ，得ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ，把互化公式代入即可得出直角坐标方程．
（Ⅱ）曲线C1是过定点（1，1）的一条直线，由于（1-2）2+（1-1）2＜5，可得点（1，1）在曲线C2的内部，因此直线C1与曲线C2一定相交．把直线参数方程代入圆的方程可得：t2-t-4=0，利用根与系数的关系、弦长关系即可得出．
解答 解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ+4cosθ，得ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ，
∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=2y+4x，即（x-2）2+（y-1）2=5．
（Ⅱ）曲线C1是过定点（1，1）的一条直线，
∵（1-2）2+（1-1）2＜5，∴点（1，1）在曲线C2内部，
∴直线C1与曲线C2一定相交．
将$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t是参数）代入（x-2）2+（y-1）2=5，得t2-t-4=0．
∴t1+t2=1，t1t2=-4，
∴$|AB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{{1^2}+16}=\sqrt{17}$．
点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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