Question

7．已知a为实数，且函数f（x）=（x²-4）（x-a），f'（-1）=0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[-2，2]上的最大值、最小值．

Answer 1

分析 （1）f'（x）=2x（x-a）+x²-4=3x²-2ax-4．由f'（-1）=0，解得$a=\frac{1}{2}$，
即$f（x）=（{{x^2}-4}）（{x-\frac{1}{2}}）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-4x+2，x∈$R．通过判定导数的符号确定单调区间．
（2）求出极值、端点值，比较大小，即可求出最值．

解答 解：（1）函数f（x）=（x²-4）（x-a）（a∈R），∴f'（x）=2x（x-a）+x²-4=3x²-2ax-4．
∵f'（-1）=0，∴3+2a-4=0，解得$a=\frac{1}{2}$，
∴$a=\frac{1}{2}$．则$f（x）=（{{x^2}-4}）（{x-\frac{1}{2}}）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-4x+2，x∈$R．
f'（x）=3x²-x-4=（3x-4）（x+1），令f'（x）=0，解得$x=-1，\frac{4}{3}$．
由f'（x）＞0得$x＞\frac{4}{3}$或x＜-1，此时函数单调递增，
由f'（x）＜0得$-1＜x＜\frac{4}{3}$，此时函数单调递减，
即函数的单调递增区间为$（{-∞，-1}]，[{\frac{4}{3}，+∞}）$，单调递减区间为$[{-1，\frac{4}{3}}]$．
（2）当-2≤x≤2时，函数f（x）与f'（x）的变化如下表：

x	[-2，-1）	-1	$（{-1，\frac{4}{3}}）$	$\frac{4}{3}$	$（{\frac{4}{3}，2}]$
f'（x）	+	0	-	0
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：当x=-1时，函数f（x）取得极大值，$f（{-1}）=\frac{9}{2}$，
当$x=\frac{4}{3}$时，函数f（x）取得极小值，$f（{\frac{4}{3}}）=\frac{50}{27}$，
又f（-2）=0，f（2）=0，可知函数f（x）的最大值为$\frac{9}{2}$，最小值为$-\frac{50}{27}$．

点评 本题考查了利用导数求函数单调区间、函数最值，属于中档题．