Question

18．设公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₂，a₅，a₁₁成等比数列，且a₁₁=2（S_m-S_n）（m＞n＞0，m，n∈N*），则m+n的值是9．

Answer 1

分析 设公差d不为0的等差数列{a_n}，运用等比数列中项的性质，化简可得a₁=2d，再由等差数列的求和公式，化简可得（m-n）（m+n+3）=12，通过m＞n，且m，n为自然数，列举判断即可得到所求和．

解答 解：设公差d不为0的等差数列{a_n}，
a₂，a₅，a₁₁成等比数列，
可得a₅²=a₂a₁₁，
即为（a₁+4d）²=（a₁+d）（a₁+10d），
化简可得a₁=2d，
a₁₁=2（S_m-S_n），
即有12d=2[ma₁+$\frac{m（m-1）}{2}$d-na₁-$\frac{n（n-1）}{2}$d]，
12d=4md-4nd+d（m²-m-n²+n），
即有（m-n）（m+n+3）=12，
由于m＞n＞0，m，n∈N*，
可得m+n+3≥6，m-n≤2，
若m=2，3，n=1则方程不成立；
若m=3，4，n=2，则方程不成立；
若m=4，5，n=3，则方程不成立；
若m=5，n=4，则方程成立；
m=6，n=4则方程不成立．
故m+n=5+4=9．
故答案为：9．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论的思想方法，以及分解因式的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．