Question

17．已知点M（x，y）到定点（-2，0）与定直线x=-4的距离之比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求点M的轨迹方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）若直线l过（2，0）且与点M的轨迹交于点A、B，以AB为直径的圆恒过原点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设出点M的坐标，直接由点M（x，y）到定点（-2，0）与定直线x=-4的距离之比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，列式整理得方程．
（2）AB为直径的圆过原点?$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0?x₁x₂+y₁y₂=0，从而考虑设直线方程，联立直线于椭圆方程进行求解即可．

解答 解：（1）设M（x，y），
∵点M（x，y）到定点（-2，0）与定直线x=-4的距离之比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}}{|x+4|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
整理得：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
∴$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，表示焦点在x轴上的椭圆；
（2）由（1）知椭圆的右焦点为（2，0）
∵AB为直径的圆过原点，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0
若直线的斜率不存在，则直线AB的方程为x=2交椭圆于（2，$\sqrt{2}$），（2，-$\sqrt{2}$）两点，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2≠0，不合题意
若直线的斜率存在，设斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-2），
代入椭圆方程，整理可得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0
由直线AB过椭圆的右焦点可知△＞0
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{8{k}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0
可得k=±$\sqrt{2}$
∴直线l的方程为y=±$\sqrt{2}$（x-2）．

点评 本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程及直线于椭圆位置关系的应用，常见的解题思想是联立直线方程与曲线方程，通过方程的根与系数的关系进行求解．是中档题．