Question

7．已知函数f（x）=xsinθ+cosθ，其中θ∈[0，2π）．
（Ⅰ）若f（x）在（-∞，+∞）为减函数，求θ的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）为奇函数，求lnf（sinθ）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的单调性的定义和三角函数图象和性质即可求出；
（2）先根据函数为奇函数，求出θ的值，再求出答案即可．

解答 解：（Ⅰ）设x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=x₁sinθ+cosθ-x₂sinθ-cosθ=（x₁-x₂）sinθ，
∵f（x）在（-∞，+∞）为减函数，x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴（x₁-x₂）sinθ＞0，
∴sinθ＜0，
∵θ∈[0，2π），
∴θ∈（π，2π）；
（Ⅱ）∵函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-xsinθ+cosθ=-f（x）=-xsinθ-cosθ，
∴cosθ=0，
∵θ∈[0，2π），
∴θ=$\frac{π}{2}$，或θ=$\frac{3π}{2}$，
∴sinθ=1，或sinθ=-1，
当θ=$\frac{π}{2}$时，f（x）=x，则f（1）=1，则lnf（sinθ）=0，
当θ=$\frac{3π}{2}$时，f（x）=-x，则f（-1）=1，则lnf（sinθ）=0，
综上所述，lnf（sinθ）=0．

点评 本题考查了以三角函数为载体考查了函数的单调性和奇偶性，属于中档题．