Question

13．如图，四边形ABCD为矩形，四边形ABEF为等腰梯形，平面ABCD⊥平面ABEF，AB∥EF，AB=2AF，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．
（1）求证：平面ADF⊥平面CBF；
（2）求证：PM∥平面AFC．

Answer 1

分析 （1）通过证明CB⊥AB，推出CB⊥平面ABEF，得到CB⊥AF，利用余弦定理推出BF⊥AF，然后证明AF⊥平面CBF，得到平面ADF⊥平面CBF．
（2）取BF的中点Q，连接PO，PQ，OQ，说明PO∥AC，证明PO∥平面AFC，PQ∥平面AFC，推出平面POQ∥平面AFC，即可证明PM∥平面AFC．

解答 证明：（1）因为平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，且CB⊥AB
所以CB⊥平面ABEF…．（1分）
又AF?平面ABEF，所以CB⊥AF…．（2分）
因为AB=2AF，∠BAF=60°，设AF=a，
由余弦定理得$BF=\sqrt{{a^2}+4{a^2}-2a×2acos{{60}^0}}=\sqrt{3}a$
所以AB²=AF²+BF²，即BF⊥AF…（4分）
又CB∩BF=B，所以AF⊥平面CBF…．（5分）
又AF?平面ADF，
所以平面ADF⊥平面CBF…（6分）
（2）取BF的中点Q，连接PO，PQ，OQ…（7分）
因为P，O，Q分别是CB，AB，BF的中点，
所以PO∥AC，PO?平面AFC…（8分）
从而PO∥平面AFC，
同理PQ∥平面AFC…（9分）
又PO∩PQ=P，所以平面POQ∥平面AFC…（10分）
因为M为底面△OBF的重心，
所以M∈OQ，从而PM?平面POQ…（11分）
所以PM∥平面AFC．…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．