Question

18．从双曲线C：b²x²-a²y²=a²b²（a＞0，b＞0）的左焦点F₁引圆x²+y²=a²的切线为T，且l交双曲线的右支于点P，若点T是线段F₁P的中点，则双曲线C的渐近线方程为2x±y=0．

Answer 1

分析 由已知可得：丨OT丨=a，设双曲线的右焦点为F′，由T为线段FP的中点，知|PF′|=2a，|PF|=2b，由双曲线的定义知：2b-2a=2a，由此能求出双曲$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的渐近线方程．

解答 解：∵过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x²+y²=a²的切线，切点为T，
∴丨OT丨=a，
设双曲线的右焦点为F′，
∵T为线段FP的中点，
∴|PF′|=2a，|PF|=2b，
由双曲线的定义知：2b-2a=2a，
∴b=2a．
∴双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay=0，
即2ax±ay=0，
∴2x±y=0．
故答案为：2x±y=0．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化，属于中档题．