题目内容
设△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且acosB-bcosA=
c，
（1）求
的值；
（2）当tan（A-B）取最大值时，判断△ABC的形状．
| 3 |
| 5 |
（1）求
| tanA |
| tanB |
（2）当tan（A-B）取最大值时，判断△ABC的形状．
考点：三角形的形状判断
专题：三角函数的求值
分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及同角三角函数间基本关系变形，即可确定出所求式子的值；
（2）利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A-B），把tanA=4tanB代入利用基本不等式求出tan（A-B）取得最大值时tanB的值，进而求出tanA的值，确定出C为直角，即可得出三角形为直角三角形．
（2）利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A-B），把tanA=4tanB代入利用基本不等式求出tan（A-B）取得最大值时tanB的值，进而求出tanA的值，确定出C为直角，即可得出三角形为直角三角形．
解答：
解：（1）已知等式acosB-bcosA=
c，利用正弦定理化简得：sinAcosB-sinBcosA=
sinC，
整理得：5sinAcosB-5cosAsinB=3sinC=3sin（A+B）=3sinAcosB+3cosAsinB，即2sinAcosB=8cosAsinB，
整理得：
=4；
（2）由（1）得：tanA=4tanB，
∵A，B都为锐角，∴tanB＞0，
∴tan（A-B）=
=
=
≤
=
，
当且仅当
=4tanB，即tanB=
时取等号，此时tanA=4tanB=2，
此时tanAtanB=1，即
=1，
整理得：cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=0，即A+B=
，C=
，
则△ABC为直角三角形．
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
整理得：5sinAcosB-5cosAsinB=3sinC=3sin（A+B）=3sinAcosB+3cosAsinB，即2sinAcosB=8cosAsinB，
整理得：
| tanA |
| tanB |
（2）由（1）得：tanA=4tanB，
∵A，B都为锐角，∴tanB＞0，
∴tan（A-B）=
| tanA-tanB |
| 1+tanAtanB |
| 3tanB |
| 1+4tan2B |
| 3 | ||
|
| 3 | ||
2
|
| 3 |
| 4 |
当且仅当
| 1 |
| tanB |
| 1 |
| 2 |
此时tanAtanB=1，即
| sinAsinB |
| cosAcosB |
整理得：cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=0，即A+B=
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
则△ABC为直角三角形．
点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间基本关系，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知Rt△ABC的三边分别为a、b、c，∠C=90°，当n∈N*，且n≥2时，an+bn与cn的大小关系为（ ）
| A、an+bn＞cn |
| B、an+bn＜cn |
| C、an+bn≥cn |
| D、an+bn≤cn |
已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）=
，若对任意实数t∈[
，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
| x-2 |
| x+1 |
| 1 |
| 2 |
| A、（-∞，-3）∪（0，+∞） |
| B、（-1，0） |
| C、（0，1） |
| D、（-∞，1）∪（2，+∞） |
己知A={x|x＞-1}，那么正确的是（ ）
| A、0⊆A | B、{0}⊆A |
| C、A={0} | D、∅∈A |