Question

已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l₁：x-y-2

2

=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）求直线l₂：4x-3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长；
（3）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）设出圆的方程，由直线和圆相切的条件，求得半径，即可得到圆的方程；
（2）求出圆心到直线的距离，运用直线和圆相交的弦长公式，即可得到；
（3）判断出C，M，N，G四点共圆，求出圆的方程，再与圆C方程相减，即可得到相交弦方程．

解答： 解：（1）设圆的方程为：x²+y²=r²，
由于圆C与直线l₁：x-y-2

2

=0相切，
则d=

|2 2 |

2

=2=r，
则有圆C：x²+y²=4；
（2）圆心到直线l₂：4x-3y+5=0的距离为d=

|5|

16+9

=1，
则被圆C所截得的弦AB的长为2

4-1

=2

3

；
（3）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，
由CM⊥MG，CN⊥NG，则四点C，M，G，N共圆，且以PC为直径，
则方程为（x-

1

2

）²+（y-

3

2

）²=（

10

2

）²，①
又圆C：x²+y²=4，②
由于MN为两圆的公共弦，
则①-②，可得，x+3y-4=0．
则直线MN的方程为：x+3y-4=0．

点评：本题考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查弦长公式和相交弦方程的求法，考查运算能力，属于中档题．