Question

若等差数列{a_n}的首项a₁＞0，且它的前n项和S_n有最大值，且

a1007

a1008

＜-1，则使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由题意可得a₁₀₀₇＞0，a₁₀₀₈＜0，且a₁₀₀₇+a₁₀₀₈＜0，由等差数列的性质和求和公式可得结论．

解答： 解：∵前n项和S_n有最大值，∴公差d＜0，
又

a1007

a1008

＜-1，∴a₁₀₀₇＞0，a₁₀₀₈＜0，
∴由不等式的性质可得a₁₀₀₇+a₁₀₀₈＜0，
∴S₂₀₁₄=

2014

2

（a₁+a₂₀₁₄）=1007（a₁₀₀₇+a₁₀₀₈）＜0，
S₂₀₁₃=

2013

2

（a₁+a₂₀₁₃）=

2013

2

a₁₀₀₇＞0，
∴使S_n＞0成立的最大自然数n的值为：2013
故答案为：2013

点评：本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．