Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足${S_n}=2{a_n}-{2^n}（n∈{N^*}）$．
（1）证明$\{\frac{a_n}{2^n}\}$是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式可得$\{\frac{a_n}{2^n}\}$是以$\frac{1}{2}$公差，以1为首项的等差数列，求出a_n即可，
（2）根据S_n=2a_n-2ⁿ，即可数列{a_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）证明：a₁=S₁=2a₁-2，
∴a₁=2，
∵S_n=2a_n-2ⁿ，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2^n-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1+2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\{\frac{a_n}{2^n}\}$是以$\frac{1}{2}$公差，以1为首项的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$（n+1），
∴a_n=（n+1）2^n-1，
（2）∵S_n=2a_n-2ⁿ，
∴S_n=2（n+1）2^n-1-2ⁿ=n-2ⁿ．

点评 本题考查了数列的递推公式和等差数列的通项公式的求法和数列的前n项，属于中档题