Question

12．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，已知a，b，c成等比数列，a²-c²=ac+bc，a=6，则 $\frac{b}{sinB}$=（　　）

• A． 12
• B． $6\sqrt{2}$
• C． $4\sqrt{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 a，b，c成等比数列，可得b²=ac．已知a²-c²=ac+bc，可得b²+c²-a²=-bc，利用余弦定理可得A，再利用正弦定理即可得出 $\frac{b}{sinB}$的值．

解答 解：∵a，b，c成等比数列，
∴b²=ac．
在△ABC中，∵a²-c²=ac+bc，
∴a²-c²=b²+bc，即b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{2π}{3}$．
∴由正弦定理：$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}$=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$\sqrt{3}$，
故选：C．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．