Question

4．已知平面向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$|{\overrightarrow a}|=1$，$|{\overrightarrow b}|=2$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$．若$\overrightarrow e$为平面单位向量，$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）•\overrightarrow e$的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． 6
• C． $\sqrt{7}$
• D． 7

Answer 1

分析 由已知求出向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角，设出$\overrightarrow{a}=（1，0），\overrightarrow{b}=（1，\sqrt{3}）$，再设$\overrightarrow{e}=（cosθ，sinθ）$，然后利用向量的坐标运算求解．

解答 解：由$|{\overrightarrow a}|=1$，$|{\overrightarrow b}|=2$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$．
得cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{1×2}=\frac{1}{2}$，
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=60°$，
不妨设$\overrightarrow{a}=（1，0），\overrightarrow{b}=（1，\sqrt{3}）$，再设$\overrightarrow{e}=（cosθ，sinθ）$，
∴$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）•\overrightarrow e$=（2，$\sqrt{3}$）•（cosθ，sinθ）=$\sqrt{3}sinθ+2cosθ$
=$\sqrt{7}sin（θ+α）$，（tanα=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
∴$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）•\overrightarrow e$的最大值为$\sqrt{7}$．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，由题意设出向量的坐标起到事半功倍的效果，是中档题．