Question

是否存在同时满足下列两条件的直线l：（1）l与抛物线y²=8x有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线l₁：x+5y-5=0垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：假设存在，设出点的坐标，联立方程可表示出AB的斜率，根据已知条件确定直线AB的斜率，进而求得y₁+y₂的值，则AB的中点的纵坐标可求，带入直线求得x，进而求得直线AB的方程．

解答： 解：假定在抛物线y²=8x上存在这样的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则有：

y 2 1 =8x1 y 2 2 =8x2

⇒(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2)⇒kAB=

(y1-y2)

(x1-x2)

=

8

(y1+y2)

∵线段AB被直线l₁：x+5y-5=0垂直平分，且kl1=-

1

5

，
∴k_AB=5，即

8

(y1+y2)

=5⇒y1+y2=

8

5

．
设线段AB的中点为M(x0，y0)，则y0=

y1+y2

2

=

4

5

．
代入x+5y-5=0得x=1．
∴AB中点为M(1，

4

5

)．故存在符合题设条件的直线，其方程为：y-

4

5

=5(x-1)，即：25x-5y-21=0．

点评：本题主要考查了直线与抛物线的关系综合问题．解题过程巧妙运用了错差法把抛物线与直线的斜率问题联系，找到了解决问题的突破口．