Question

已知圆M：（x+2）²+y²=4，过点P（-1，0）作圆M的互相垂直的两条弦AB，CD，则这两条弦长之和的最大值为（　　）

• A、2

  14

• B、8
• C、4+2

  3

• D、4

  6

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：向量与圆锥曲线

分析：先看当其中一条弦的斜率不存在时的弦长之和．进而设出其中一条直线AB的斜率，表示出AB，CD的直线方程，求得弦心距的表达式，进而表示出|AB|+|CD|利用基本不等式的知识求得其最大值．

解答： 解：当其中一条弦的斜率不存在时，弦长之和为4+2

3

，
设其中一条直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1），弦心距d₁=

|-2k+k

k2+1

=

|k|

k2+1

，
同理，CD的弦心d₂=

1

k2+1

，因此

d

2 1

+

d

2 2

=1．
|AB|+|CD|=2（

4 -d 2 1

+

4 -d 2 2

）=4×

4 -d 2 1 + 4 -d 2 2

2

≤4×

4- d 2 1 +4- d 2 2

=2

14

，
当且仅当4-

d

2 1

=4-

d

2 2

，k=±1时，等号成立，
故选A．

点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质．注意数形结合思想的运用．