Question

设数列 {a_n} 中，a₁＝a，a_n＋1＋2a_n＝2^n＋1（n∈N*）．
（Ⅰ）若a₁，a₂，a₃成等差数列，求实数a的值；
（Ⅱ）试问数列 {a_n} 能为等比数列吗？若能，试写出它的充要条件并加以证明；若不能，请说明理由．

Answer 1

解（Ⅰ），
因为，所以，得   4分
（Ⅱ）方法一：因为，所以，
得：，
当时,,显然成立;
当时,是以为首项，－1为公比的等比数列，
所以，得：

为等比数列为常数，易得当且仅当时，为常数。
方法二：因为，所以，
即，故是以为首项，－2为公比的成等比数列，
所以，得：（下同解法一）
方法三：由前三项成等比得，进而猜测，对于所有情况都成立，再证明。

略